[@Vasilych]

Я его победил! Делюсь решением.

Было: нестабильно срабатывающий автозапуск с разными симптомами.

Давно: автозапуск схватывал, делал пол-оборота стартёра и сообщал на брелок, что запуск успешно произведён (хотя на самом деле нет).
Дело было в очень старом аккуме, вылечилось его заменой.
Похоже, что при включении стартёра проседало напряжение и то ли реле размыкалось, то ли мозги сигналки от этого сбоили.

С год назад автозапуск опять начал давать осечки, чей % постепенно рос, пока автозапуск не перестал срабатывать вообще всегда.
При этом стартёр вообще не начинал крутить, индикация на приборке моргала как надо, были слышны щелчки реле, но стартёр вообще не шевелился.
При этом на брелок приходил сигнал об ошибке запуска.
А при запуске с ключа (после неудачного автозапуска) - стартёр начинал крутить с ощутимой задержкой, через 0,5-1-1,5 секунды после поворота ключа.
Очередная замена аккумулятора и восстановление стартёра (пятаки, сердечник втягивающего реле, бендикс) - устранили проблему лишь на короткое время, после чего она начала вылезать опять.
Проблема была плавающая и, похоже, имела зависимость от температуры / влажности воздуха.

Наконец, похоже, что она решена окончательно: виновник - управляющее реле стартёра в блоке предохранителей.
Похоже, что время его срабатывания стало больше, чем импульс прокрутки с автозапуска.
.

Цена вопроса - 1380 р.
Меняется самостоятельно.